Tính độc đáo của tư duy ở học sinh tiểu học

  • 08/01/2019 | 13:09 GMT+7
  • 1.629 lượt xem

Trong giảng dạy, đôi khi chúng ta thấy học sinh đưa ra những cách giải khác với chúng ta và có khi cách giải đó thật bất ngờ. Có những bài toán như "Vừa gà, vừa chó" có lời giải dân gian đã lâu nhưng lại có thêm cách giải mới lạ.

Khá nhiều thầy dạy các lớp chuyên toán đã tâm sự: "Đôi khi mình học được ở học sinh rất nhiều. Có những lời giải của các em khác với lời giải của thầy cô và các tài liệu đã có." Trong giảng dạy, việc phát hiện ra tính độc đáo trong tư duy cũng như ở lời giải sẽ làm cho việc học toán trở nên hấp dẫn, sinh động, tạo thêm niềm say mê học tập cho các em. Xin chia sẻ bài viết của thầy Phan Duy Nghĩa để các thầy cô có thêm thông tin bổ ích cho việc dạy toán ở tiểu học.

Tính độc đáo thể hiện như thế nào?

Tính độc đáo của tư duy ở học sinh tiểu học thể hiện trong học tập bằng tính mới lạ, độc đáo, điển hình trong cách giải bài tập, cách lập luận, suy luận của quá trình tìm tòi lời giải. Cũng có khi tính độc đáo của tư duy chuyển thành tính độc đáo của bài giải. Trong thực tế, thật khó xác định một cách có căn cứ rằng cách giải nào, đáp án nào, bài làm nào, cách suy luận, giải quyết nào là mới lạ, độc đáo một cách cụ thể, mà chỉ có thể nói nó mới lạ và độc đáo đối với từng cá nhân học sinh. Tuỳ theo mức độ nhận thức, mức độ tư duy, hiểu biết, kinh nghiệm ít hay nhiều của từng học sinh mà xác định mức độ độc đáo của tư duy được thể hiện qua sản phẩm bài làm của học sinh đó.

Tính độc đáo còn phụ thuộc vào cách suy luận, cách phân tích, cách khai thác các điều kiện trong đề bài, trong câu hỏi, trong vấn đề,...Vì vậy, có thể khẳng định cách giải độc đáo là cách giải khác với thuật giải mà học sinh đã biết hoặc có được không từ cách nghĩ bình thường. Tính độc đáo của tư duy ở học sinh được thể hiện trong quá trình tư duy và trong sản phẩm tư duy mà cụ thể là trong quá trình phân tích, suy luận và trong bài làm, lời giải với mức độ tương đối đơn giản. Chẳng hạn, với môn Toán, việc thực hiện gộp các bước tính trong bài giải; từ bài toán suy ra được sơ đồ, tóm tắt, đặt thành đề toán khác; bài giải bằng những suy luận gián tiếp, những nhận xét sắc sảo, những lập luận chặt chẽ, lôgíc là đã thể hiện được tính độc đáo trong tư duy của học sinh.

Những ví dụ minh hoạ về tính độc đáo trong tư duy

Có thể minh họa qua quá trình học sinh giải các bài toán sau:

Ví dụ 1. Tính tổng S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 23 + 24 + 25.

Cách giải sau đây được xem là độc đáo:

S = 1 + 2 + 3 + 4 + ...... 24 + 25

   = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 24 + 25

   = (0 + 25) + (1 + 24) + (2 + 23) + ... + (12 + 13)

   = 25 + 25 + 25 + ... + 25.

Có 13 cặp, mỗi cặp có tổng bằng 25 nên kết quả là 25 x 13 = 325.

Như vậy, khi giải bài toán trên, chỉ một thao tác thêm số 0 đã làm cho không những các bước tính đơn giản hơn nhiều mà nó còn thể hiện một cách suy luận vấn đề, một cách nghĩ rất "phá cách" đối với học sinh tiểu học.
Sau này học lên các lớp THPT, các em sẽ thấy đây là lời giải bình thường đối với việc tính tổng các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Như vậy tính độc đáo chỉ có ý nghĩa ở một giai đoạn mà thôi.
Người ta có thể không cần "thêm số 0" mà tính 2 lần S:

S = 1 + 2 + 3 + 4 +...+23 + 24 + 25

S = 25 + 24 + 23 +...+ 3 + 2 + 1

Nhìn cặp số hạng cùng thứ tự trong 2 tổng trên ta thấy tổng chúng là 26 mà có 25 cặp như thế nên:

2 x S = 26 x 25 

Từ đó: S = 13 x 25 = 325.

Chú ý: Theo giai thoại, khi nhà toán học Đức Carl Friedrich Gauss khi là học sinh tiểu học, thầy giáo yêu cầu học sinh tính tổng các số tự nhiên từ 1 đến 100. Gauss đã trả lời đúng chỉ trong vài giây bằng một cách giải nhanh và độc đáo. Ông nhận thấy việc cộng hai số ở đầu và cuối dãy tạo ra kết quả trung gian giống nhau: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, và kết quả tổng cộng là 50 × 101 = 5050. 

Ví dụ 2. Trong một đợt nghỉ hè ở quê có 15 ngày trời mưa, trong đó cứ mưa vào buổi sáng thì chiều trời trong xanh và cứ mưa vào buổi chiều thì sáng hôm đó trời tạnh. Có 12 buổi sáng và 13 buổi chiều trời quang mây. Hỏi kì nghỉ hè ở quê kéo dài trong bao nhiêu ngày?

Bài toán này có nhiều cách giải và cách giải sau đây được xem là độc đáo:

Giải: Coi đơn vị tính không phải là ngày mà là buổi (nửa ngày) thì theo bài ra ta có: 15 ngày trời mưa cũng có nghĩa là 15 buổi trời mưa (sáng hoặc chiều), có 12 buổi sáng và 13 buổi chiều trời không mưa.

Như vậy số buổi trời không mưa là: 12 + 13 = 25 (buổi)

Số buổi ở quê là: 25 + 15 = 40 (buổi)

Số ngày ở quê là: 40 : 2 = 20 (ngày).

Việc coi đơn vị tính không phải là ngày mà là buổi (nửa ngày) đã chuyển bài toán từ khó thành dễ và đưa đến một lời giải độc đáo cho bài toán.

Ví dụ 3. Tang tảng lúc trời mới rạng đông

             Rủ nhau đi hái mấy quả hồng

             Mỗi người 5 quả thừa 5 quả

             Mỗi người 6 quả 1 người không.

Hỏi có bao nhiêu người, bao nhiêu quả hồng?

Bài toán này thuộc dạng toán "Tìm hai số khi biết hai hiệu số" và nếu áp dụng cách giải bài toán "Tìm hai số khi biết hai hiệu số" để giải bài toán trên thì không có gì là độc đáo. Bằng cách giả thiết tạm có một người được chia hồng nhưng không nhận cho ta cách giải độc đáo sau.

Thu hoạch hồng Thu hoạch hồng

Giải: Giả sử lúc đầu chia cho mỗi người 5 quả có một người không nhận. Khi đó số quả hồng thừa ra là:
5 + 5 = 10 (quả).

Lấy 10 quả hồng này chia thêm cho mỗi người 1 quả thì đúng "Mỗi người 6 quả 1 người không".

Có 10 quả hồng chia cho mỗi người 1 quả để mỗi người được 6 quả thì vừa hết, suy ra số người được nhận mỗi người 6 quả là: 10 : 1 = 10 (người).

Số người thực tế là: 10 + 1 = 11 (người).

Số quả hồng hái được là: 6 x 10 = 60 (quả).

Ví dụ 4. Hình gồm 9 hình vuông giống hệt nhau (xem hình vẽ) , mỗi hình vuông có diện tích 4 cm2. Các điểm A, B, C, D là các đỉnh của hình vuông. Điểm E nằm trên đoạn CD sao cho AE chia 9 hình vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính độ dài đoạn CE.

Tính độc đáo của tư duy ở học sinh tiểu học

Nhận xét: Đây là bài toán số 3 trong Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 TP Hồ Chí Minh năm học 2017-2018. Nếu giải bài toán bằng kiến thức môn toán của THCS thì sẽ không có gì đáng bàn. Nhưng nếu giải bài toán bằng kiến thức môn toán của Tiểu học thì cho ta 2 cách giải "độc đáo" sau:

Cách 1. Ta ghép thêm 1 hình vuông giống hệt với 9 hình vuông đã cho như hình vẽ.

Tính độc đáo của tư duy ở học sinh tiểu học

Vì diện tích mỗi hình vuông đã cho là 4 cm2 (4 = 2 x 2) nên cạnh mỗi hình vuông nhỏ là 2 cm.

Từ đó ta có: OC = 2 cm; AO = 2 x 4 = 8 (cm).

Vì AE chia 9 hình vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau nên suy ra diện tích của hình tam giác AOE là: 4 x 9 : 2 + 4 = 22 (cm2).

Độ dài cạnh OE là: 22 x 2 : 8 = 5,5 (cm).

Độ dài đoạn thẳng CE là: 5,5 – 2 = 3,5 (cm).

Cách 2. Ta ghép thêm 7 hình vuông giống hệt nhau và giống hệt với 9 hình vuông đã cho để được hình vuông AODM như hình vẽ.

Tính độc đáo của tư duy ở học sinh tiểu học

Khi đó, theo hình vẽ ta có tứ giác AEDM là hình thang, tam giác AOE là tam giác vuông tại O.

Vì diện tích mỗi hình vuông đã cho là 4 cm2 (4 = 2 x 2) nên cạnh mỗi hình vuông nhỏ là 2 cm.

Từ đó ta có: AM = AO = MD = OD = 2 x 4 = 8 (cm); CD = 2 x 3 = 6 (cm).

Vì AE chia 9 hình vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau nên suy ra hiệu diện tích giữa hình thang AEDM và tam giác AOE chính bằng hiệu diện tích của 6 hình vuông ghép thêm vào hình thang AEDM và 1 hình vuông ghép thêm vào tam giác AOE. Hiệu diện tích này là: 4 x 6 – 4 x 1 = 20 (cm2).

Suy ra: (ED + 8) x 8 : 2 = OEx  8 : 2 + 20

                  ED x 4 + 32 = OE x 4 + 20

                  OE x 4 - ED x 4 = 32 – 20

                  (OE – ED) x 4 = 12

                  OE – ED = 12 : 4 = 3 (1)

Mặt khác ta có: OE + ED = OD = 8 (2).

Theo bài toán tìm hai số biết tổng và hiệu, ta tính được:

ED = (8 – 3) : 2 = 2,5 (cm). Vậy CE = CD – ED = 6 – 2,5 = 3,5 (cm).

Chú ý: Qua 4 ví dụ ở trên, ta thấy việc "thêm số 0" hay "tính 2 lần S", coi đơn vị tính là "buổi", giả thiết tạm có "một người không nhận hồng" và "ghép thêm hình vuông" vào hình vẽ đã đưa đến những lời giải "độc đáo" và sáng tạo. Nó không chỉ thể hiện tính “độc đáo” trong bài làm mà còn thể hiện tính độc đáo trong cách suy nghĩ tìm lời giải của học sinh. Chúng ta xét thêm một ví dụ đã từng xuất hiện ở một vòng thi của chương trình Đường lên đỉnh Olympia:

Ví dụ 5. Có một cuộc thi đấu cá nhân đối kháng để tìm ra người giỏi nhất trong 1000 người. Ai thua một trận là bị loại. Khi chia cặp đấu mà số người lẻ thì 1 người có thể tạm nghỉ đấu. Theo bạn có tất cả bao nhiêu trận đấu?

Tình hình thực tế: Tất cả các thí sinh đều nghĩ đến cách tổ chức thi đấu và từ đó tính số trận đấu. Lẽ thường sẽ chia thành 500 cặp để đấu loại đi 500 người. Sau đó lại chia 250 cặp để đấu loại đi 250 người. Rồi lại chia 125 cặp đấu để loại 125 người. Còn 125 người chia 62 cặp để loại 62 người và sẽ còn 63 người (vì 1 người lẻ chưa đấu). Lại chia 31 cặp đấu để loại 31 người và sẽ còn 32 người (vì 1 người chưa đấu). Chia 16 cặp đấu để loại 16 người và còn 16 người. Tiếp tục chia 8 cặp để loại 8 người và còn 8 người. Lại chia 4 cặp để loại 4 người và còn 4 người. Lại chia 2 cặp để loại 2 người và còn 2 người. Cuối cùng 2 người đấu để loại 1 người và người thắng sẽ là nhà vô địch.

Một cuộc thi 'Đường lên đỉnh OlympiaMột cuộc thi 'Đường lên đỉnh Olympia" trên truyền hình

Các thí sinh đều nhờ sự giúp sức của máy tính cầm tay. Cuối cùng vì thời gian chỉ có 30 giây nên tính không kịp, nói liều đáp số hoặc tính vội nên nhầm do đó cho kết quả sai.

Nếu không hạn chế thời gian, các bạn sẽ thong thả tính:

500 + 250 + 125 + 62 + 31 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 999 (trận).

Lời giải độc đáo (phù hợp 30 giây): Mỗi trận đấu chỉ loại đúng 1 người. Chỉ chọn nhà vô địch nên phải loại đúng 999 người. Do đó phải đấu đúng 999 trận.

Lời giải độc đáo này không bị lạc vào hướng "tổ chức cuộc đấu" mà xuất phát từ "yêu cầu cuộc đấu" và tác dụng của mỗi trận đấu trong việc loại đấu thủ. Câu "Khi chia cặp đấu mà số người lẻ thì 1 người có thể tạm nghỉ đấu" chỉ có nhiệm vụ "đánh lạc hướng" của thí sinh, thực ra bỏ câu này thì đề toán không thay đổi. Bởi vậy cần đề phòng những yếu tố "hoả mù" trong khi đọc đề toán.

Một lần nữa cho thấy: lời giải độc đáo sẽ không có được nhờ cách nghĩ thông thường hay thuật giải đã cho trước. Thêm một bài toán dân gian đã được truyền bá khá nhiều, chắc ai cũng biết:

Ví dụ 6 (toán dân gian): Một người nông dân nuôi được 17 con trâu. Trước khi qua đời, ông di chúc lại cho ba người con:
- Con cả được 1/2 đàn trâu.
- Con thứ được chia 1/3 đàn trâu.
- Con út được chia 1/9 đàn trâu.
Ba người con loay hoay không biết làm thế nào để chia gia tài mà không phải xẻ thịt các con trâu. Em hãy tìm cách giúp họ.

Nhận xét: Rõ ràng 17 không chia hết cho 2; 3; 9 và người chắc chắn không để các con phải xẻ thịt trâu để chia. Giá mà…số trâu chia hết cho 2; 3; 9 thì bài toán thật dễ dàng. Con số rất gần 17 thoả mãn ước mơ này chính là 18.

Một đàn trâu Một đàn trâu

Lời giải độc đáo (dân gian): Em đem một con trâu (nếu không có trâu thật thì dùng trâu bằng gỗ chẳng hạn) đến nhập thêm vào 17 con trâu thành một đàn 18 con trâu. Sau đó:

- Chia cho người con cả 1/2 đàn, tức là: 18 : 2 = 9 (con trâu)

- Chia cho người con thứ 1/3 đàn, tức là: 18 : 3 = 6 (con trâu)

- Chia cho người con út 1/9 đàn, tức là: 18 : 9 = 2 (con trâu)

Vậy ba người con được vừa đúng:

9 + 6 + 2 = 17 (con trâu)

Còn em lại mang con trâu của mình về.

Các người con có bị thiệt không?

Các bạn để ý:

9 con trâu > 17/2 con trâu (vì18/2>17/2 )

6 con trâu > 17/3 con trâu (vì 18/3>17/3 )

2 con trâu > 17/9 con trâu (vì 18/9>17/9 )

Do đó trong cách chia trên người con nào cũng được hưởng lợi. ấy thế mà em lại không mất thêm một con trâu nào (con trâu đem đến lại dắt về). Sao kì vậy? Chỗ bí hiểm ở đây là do tổng ba phân số biểu thị các phần được chia theo di chúc chưa bằng 1 (tức là chưa bằng cả đàn trâu), vì:

(1/2)+(1/3) +(1/9)=(9+6+2):18=17/18 (đàn trâu)

Nếu để ý tính tổng các phân số như trên thì sẽ thấy dù xẻ thịt trâu thì các con cũng không chưa chia hết cả đàn trâu. Phân số 17/18 đã gợi ý ra việc thêm 1 con trâu thật hay giả đều được. Các con đều vui và có thể người cha đã rất thông minh khi đưa ra một di chúc hay như thế!

Vì vậy, trong quá trình dạy học môn toán, giáo viên cần kích thích học sinh suy nghĩ "phá lệ" bằng cách gợi mở vấn đề, đưa ra các câu hỏi dẫn dắt nhằm phát triển ở học sinh không chỉ tính độc đáo mà còn cả tính tính mềm dẻo, nhuần nhuyễn và tính nhạy cảm vấn đề của tư duy sáng tạo. Thỉnh thoảng, các thầy cô cũng nên có những bài toán "bất ngờ" để thử cách tư duy tự tìm lời giải của học sinh. Chính từ việc quan tâm này, chúng ta sẽ không biến học sinh thành những "cỗ máy giải toán".

Phan Duy Nghĩa (Sở GD&ĐT Hà Tĩnh)

Ý kiến bạn đọc:

Bạn hãy Đăng nhập để gửi ý kiến của mình.

Đề thi mới nhất

Toán học & kết nối tuần 3

Môn Toán học - Lớp 8

Tống Phước Hiển

77 lượt thi

Toán học & kết nối tuần 3

Môn Toán học - Lớp 9

Tống Phước Hiển

66 lượt thi

Toán học & kết nối tuần 3

Môn Toán học - Lớp 6

Tống Phước Hiển

80 lượt thi

Toán học & kết nối tuần 3

Môn Toán học - Lớp 7

Tống Phước Hiển

75 lượt thi

Xem thêm