Tin mới

7 cách "chế biến" từ bài toán "tìm hai số biết tổng và hiệu"

Bài toán "Tìm hai số, biết tổng và hiệu" là bài toán cơ bản trong chương trình tiểu học. Bài viết không bàn về phương pháp giải mà bàn về những con đường tạo ra các bài toán dạng này đòi hỏi học sinh phải suy nghĩ để phát triển tư duy.

Với bài toán "Tìm hai số biết tổng và hiệu", phương pháp mà chúng ta thường dạy cho học sinh là dùng sơ đồ đoạn thẳng mà độ dài mỗi đoạn thẳng biểu diễn cho hai số cần tìm. Bằng hình ảnh này có thể thấy:

- Nếu thêm vào tổng hai số hiệu của chúng thì ta được 2 lần số lớn

- Nếu bớt tổng hai số đi hiệu của chúng thì ta được 2 lần số bé.

Từ đó dễ dàng tìm được 2 số.

Chỉ dừng ở quy tắc? Thật là dễ chán!Chỉ dừng ở quy tắc? Thật là dễ chán!

Ngoài ra có thể lập luận bằng giả thiết tạm cho thêm số bé hoặc bớt đi số lớn để hai số bằng nhau, từ đó suy ra số lớn hoặc số bé và sẽ tìm ra hai số.

Bởi vậy khi bài toán cho ngay tổng và hiệu hai số thì lời giải thật dễ dàng như là một quy tắc mà học sinh làm nhẹ nhàng...nhưng cũng sẽ ... chán.

Vậy chúng ta sẽ khai thác theo những hướng nào để tiếp tục làm cho học sinh phải suy nghĩ và qua đó phát triển tư duy?
Xin chia sẻ với các bạn một số hướng để học sinh không có ngay bài toán cơ bản, không có ngay cả tổng và hiệu hai số.

1."Chia cho" và "nhiều hơn"/"ít hơn"

- Nếu từ một số lượng nào đó chia làm làm 2 phần thì tổng số lượng 2 phần chính bằng số lượng đó.

- Nếu phần này nhiều hơn hay ít hơn phần kia bao nhiêu thì đó chính là hiệu số lượng 2 phần.

Thí dụ 1. Có 20 cái kẹo chia cho Sóc và Khoai. Biết rằng Sóc nhiều hơn Khoai 4 cái. Tính số kẹo của mỗi bạn.
Phân tích: Tất cả 20 cái kẹo chia cho 2 bạn nghĩa là tổng số kẹo của 2 bạn là 20 cái. Sóc nhiều hơn Khoai 4 cái nên hiệu số kẹo của Sóc và Khoai là 4 cái.

Giải: Dùng sơ đồ đoạn thẳng hoặc lập luận:

Giả sử "mượn" 4 cái kẹo và cho Khoai thêm 3 cái kẹo thì số kẹo của Khoai sẽ bằng số kẹo hiện có của Sóc. Nhưng khi đó tổng số kẹo là 20 + 4 = 24 (cái).
Vậy số kẹo của Sóc là: 24 : 2 = 12 (cái).
Suy ra số kẹo của Khoai thực có là 20 - 12 = 8 (cái).

Trả lời: Sóc có 12 cái kẹo và Khoai có 8 cái kẹo.

2. "Góp lại"/"làm chung" và "nhiều hơn"/"ít hơn"

Thí dụ 2. Để mua quà tặng sinh nhật mẹ, Khang và Khôi góp với nhau được 150 000 đồng trong đó Khôi góp ít hơn anh Khang 40 000 đồng. Hỏi anh Khang góp bao nhiêu?

Luôn nhớ Sinh nhật MẹLuôn nhớ Sinh nhật Mẹ

Giải: Nếu Khôi góp thêm 40 000 đồng thì hai anh em góp bằng nhau và khi đó số tiền sẽ là:
150 000 + 40 000 = 190 000 (đồng)
Do đó số tiền anh Khang góp là: 190 000 : 2 = 95 000 (đồng).
Trả lời: Anh Khang góp 95 000 đồng.

3. "Chu vi" và "ngắn hơn"/"dài hơn"

Thí dụ 3. Hình chữ nhật có chu vi là 50cm và chiều rộng ngắn hơn chiều dài 15cm. Hỏi chiều rộng là bao nhiêu?

Giải: Chu vi hình chữ nhật là 2 lần tổng của chiều dài và chiều rộng. Nếu chiều dài bớt 15cm thì chu vi hình chữ nhật sẽ là: 
50 - 2 x 15 = 20 (cm).
Đây chính là 4 lần chiều rộng nên chiều rộng là: 20 : 4 = 5 (cm).
Trả lời: Chiều rộng hình chữ nhật là 5cm.

4. "Đi ngược chiều gặp nhau" và "đi nhiều hơn/"đi ít hơn"

Thí dụ 4. Quãng đường Hà Nội đi Nam Định dài 90km. Một ô tô con đi từ Nam Định lên Hà Nội gặp ô tô tải đi từ Hà Nội về Nam Đinh. Khi gặp nhau thì quảng đường ô tô tải đã đi nhiều hơn quãng đường ô tô con đã đi là 18km. Hỏi khi đó ô tô tải đã đi được quãng đường dài bao nhiêu?

Giải: Tổng độ dài quãng đường cả 2 ô tô đã đi chính bằng khoảng cách giữa Hà Nội và Nam Định, tức là 90km.
Giả sử khi gặp nhau, ô tô tải không đi nữa và để ô tô con đi thêm 18km thì quãng đường mà 2 ô tô đã đi sẽ dài bằng nhau và tổng chiều dài này là: 90 + 18 = 108 (km).
Đó chính là 2 lần quãng đường ô tô tải thực đi, nên khi gặp nhau ô tô tải đã đi quãng đường dài:
108 : 2 = 54 (km).
Trả lời: Khi gặp nhau ô tô tải đã đi 54km.

5. "Năm sinh hai người" hoặc "sinh cách nhau"

Nếu biết năm sinh hai người hoặc sinh cách nhau bao nhiêu năm sẽ biết ai "nhiều tuổi hơn" hoặc "ít tuổi hơn" và hiệu số tuổi của hai người. Đây cũng là cách không nói tới "hiệu" trong bài toán.

Thí dụ 5. Khang sinh trước Khôi 2 năm và tổng số tuổi của hai anh em còn kém 12 tuổi mới bằng tuổi bố Hà. Biết bố Hà sinh vào năm 1979. Hỏi năm nay Khang bao nhiêu tuổi và năm nào thì tổng số tuổi của hai anh em sẽ bằng tuổi bố Hà?

Bố Hà và Khang, KhôiBố Hà và Khang, Khôi

Giải: Khang sinh trước Khôi 2 năm nên hiệu số giữa tuổi Khang và tuổi Khôi là 2 tuổi.
Tuổi của bố Hà: 2017 - 1979 = 38 (tuổi)
Tổng số tuổi hai anh em hiện nay: 38 - 12 = 26 (tuổi)
Giả sử Khôi thêm 2 tuổi mà Khang vẫn giữ nguyên tuổi thì tổng số tuổi hai anh em là: 26 + 2 = 28 (tuổi).
Do đó tuổi Khang hiện nay: 28 : 2 = 14 (tuổi).
Mỗi năm tổng số tuổi của hai anh em tăng 2 nhưng tuổi bố Hà chỉ tăng 1. Như vậy mỗi năm khoảng cách giữa tôuiir bố Hà và tổng số tuổi của hai anh em bớt đi 1. Hiện nay khoảng cách đó là 12. Vậy để tổng số tuổi hai anh em bằng tuổi bố Hà thì phải cần: 12 : 1 = 12 (năm). Do đó năm mà tổng số tuổi hai anh em bằng tuổi bố Hà là: 2017 + 12 = 2029.
Trả lời: Khang 14 tuổi và năm 2029 thì tổng số tuổi hai anh em bằng tuổi bố Hà.

6. "Phần này cho phần kia"

Khi cho giả thiết phần này cho phần kia thì phần kia sẽ bằng hay ít hơn/nhiều hơn phần này khi đó thì ta có thể biết hiệu số của số lượng 2 phần ban đầu. Đây là cách tránh từ "hiệu" trong bài toán.

Thí dụ 6.  Có 20 cái kẹo chia cho Hưng và Linh. Biết rằng nếu Hưng cho Linh 3 cái thì:
a) Hai anh em bằng nhau
b) Linh nhiều hơn Hưng 2 cái
c) Linh ít hơn Hưng 2 cái
Hỏi em Linh có mấy cái kẹo?

Phân tích: Có thể lập sơ đồ đoạn thẳng để thấy những điều phân tích. Cũng có thể lập luận:
a) Hưng cho Linh 3 cái mà số kẹo hai anh em bằng nhau tức là Hưng bớt 3 cái và Linh thêm 3 cái mới có sự bằng nhau này. Vậy Hưng phải hơn Linh 3 + 3 = 6 (cái).
b) Hưng cho Linh 3 cái mà Linh lại nhiều hơn Hưng 2 cái tức là Hưng hơn Linh: 2 x 3 - 2 = 4 (cái).
c) Hưng cho Linh 3 cái mà Linh ít hơn Hưng 2 cái tức là Hưng hơn Linh: 2 x 3 + 2 = 8 (cái).
Gợi ý và kết quả: 
a) Có tổng là 20 và hiệu là 6 thì Linh có 7 cái kẹo.
b) Có tổng là 20 và hiệu là 4 thì Linh có 8 cái kẹo.
c) Có tổng là 20 và hiệu là 8 thì Linh có 6 cái kẹo.

Xếp hàng riêng nam nữ ?Xếp hàng riêng nam nữ ?

Thí dụ 7. Lớp Minh có 34 bạn. Khi xếp làm 2 hàng (1 hàng nam và 1 hàng nữ) thì phải bớt 4 bạn nữ cuối hàng sang đứng sau hàng nam thì hai hàng mới bằng nhau. Hỏi lớp có bao nhiêu bạn nam?

Giải: Hàng nữ bớt đi 4 bạn thì hai hàng bằng nhau nghĩa là hàng nữ hơn hàng nam: 4 x 2 = 8 (bạn).
Giả sử lớp bớt 8 bạn nữ thì sĩ số lớp là: 34 -  8 = 26 (bạn) và hai hàng sẽ bằng nhau.
Do đó số bạn nam là: 26 : 2 = 13 (bạn).
Trả lời: Lớp Minh có 13 bạn nam.

Thí dụ 8. Mẹ bạn Mai mua thịt về và lấy ra một cái cân có 2 đĩa cân. Nếu để cả thịt bò và thịt lợn ở 1 đĩa thì đĩa bên kia phải phải đặt 1 quả cân 1kg, 2 quả cân 2 lạng thì hai bên mới cân bằng. Nếu mỗi đĩa để một loại thịt thì phải bớt 2 lạng thịt lợn sang đĩa bên kia thì 2 đĩa cân mới cân bằng. Mẹ hỏi Mai: Con có biết mẹ mua bao nhiêu thịt mỗi loại không? Bạn trả lời giúp Mai nào!

Cái cân 2 đĩa và các quả cânCái cân 2 đĩa và các quả cân

Phân tích: Bài toán trên cái cân 2 đĩa là một cách tạo ra những giả thiết của bài toán. Khi 2 đĩa cân bằng nhau tức là khối lượng của 2 đĩa cân bằng nhau.
Giải: Trước kết đổi đơn vị 1kg = 1000g; 2 lạng = 200g (cũng có thể đổi đơn vị ra cùng đơn vị kg hoặc lạng).
Nếu để cả thịt bò và thịt lợn ở 1 đĩa thì đĩa bên kia phải phải đặt 1 quả cân 1kg, 2 quả cân 2 lạng thì hai bên mới cân bằng như vậy khối lượng của cả 2 loại thịt là: 1 000 + 2 x 200 = 1 400 (g).
Nếu mỗi đĩa để một loại thịt thì phải bớt 2 lạng thịt lợn sang đĩa bên kia thì 2 đĩa cân mới cân bằng tức là khối lượng thịt lợn hơn khối lượng thịt bò là: 2 x 200 = 400 (g).
Từ đó ta có tổng khối lượng hai loại thịt là 1 400g và hiệu khối lượng là 400g. Giải bài toán "tìm hai số biết tổng và hiệu" ta có kết quả 900g thịt lợn và 500g thịt gà.
Trả lời: Mẹ bạn Mai mua 9 lạng thịt lợn và 5 lạng (nửa cân) thịt bò.

7. Tuổi của một người ở 2 thời điểm

Khoảng cách thời gian giữa 2 thời điểm sẽ cho ta biết tuổi người đó tăng lên hay giảm đi bao nhiêu khi so tuổi ở 2 thời điểm.

Thí dụ 9. Nếu cộng tuổi của Hải Anh 10 năm sau với tuổi của bạn ấy hiện nay thì được 28 tuổi. Hỏi hiện nay Hải Anh bao nhiêu tuổi?

Phân tích: Ở đây có tuổi Hải Anh 10 năm sau và tuổi Hải Anh hiện nay, tất nhiên tuổi của 10 năm sau phải hơn tuổi hiện nay là 10 tuổi. Giải bài toán khi biết tổng là 28 và hiệu là 10 ta có kết quả tuổi Hải Anh hiện nay là 9 tuổi.

Thí dụ 10. 10 năm nữa thì tuổi Khang bằng tuổi bố Hà cách đây 14 năm. Tổng số tuổi cách đây 5 năm của Khang và bố Hà là 42 tuổi. Hỏi bố Hà hiện nay bao nhiêu tuổi?

Phân tích: 10 năm nữa thì tuổi Khang bằng tuổi bố Hà cách đây 14 năm tức là bố Hà hơn Khang: 10 + 14 = 24 (tuổi). Cách đây 5 năm thì số tuổi của Khang và bố Hà đều bớt đi 5 tuổi so với hiện nay. Vậy tổng số tuổi hiện nay của Khang và bố Hà là: 42 + 5 x 2 = 52. Bây giờ chỉ còn tìm hai số biết tổng là 52 và hiệu là 24. Ta sẽ có tuổi của bố Hà hiện nay là 38.

Hy vọng bài viết là gợi ý để các thầy cô thử "chế biến" một số "món" cho học sinh "ăn" hấp dẫn hơn và đòi hỏi suy nghĩ nhiều hơn. Qua đó là cách phát triển tư duy cho học sinh.
Chú ý là chúng ta không bàn đến làm cho bài toán khó lên mà chỉ bàn đến bài toán ở mức vừa phải để sẽ nâng dần lên!

Chúc các thầy cô Hạnh phúc và Thành công!

TS. Lê Thống Nhất

Ý kiến bạn đọc
Bạn hãy Đăng nhập để gửi ý kiến của mình.