Bỏ lại tất cả các thí sinh tham dự IMO 2017, chỉ duy nhất một đại diện của Australia chiếm trọn vẹn 7 điểm của bài 3, ngày thi thứ nhất. Hội đồng ra đề Toán Quốc tế lần thứ 58 cũng nhận định sai về mức độ giữa bài 3 và bài 6 của kỳ thi.
Dưới đây là bài viết nóng hổi của TS. Trần Nam Dũng vừa gửi tới BigSchool:
Khi kết quả chấm thi IMO 2017 được cập nhật sau ngày chấm thứ nhất, một điều được mà mọi người chú ý là kết quả điểm của bài 3 và bài 6, hai bài “quyết định vàng” của kỳ thi. Theo như thầy Nguyễn Khắc Minh thì khi chọn đề, bài 3 được đánh giá là “dễ” hơn so với bài 6. Tuy nhiên cho đến nay, trong khi bài 6 đã có nhiều điểm 7 (trong đó riêng đoàn Hàn Quốc đã có 3 điểm 7) thì ở bài 3, chỉ có 1 điểm 7 duy nhất của Australia và một vài điểm 1, còn lại toàn 0. Vậy bài toán 3 là bài toán thế nào mà lại "sát thủ" vậy?
Bài toán 3, do Áo đề nghị, là một bài toán hình tổ hợp thể loại đuổi bắt. Riêng việc đọc đề và hiểu được yêu cầu của đề bài đã là không đơn giản. Đây là nguyên văn bản dịch tiếng Việt thầy Lê Anh Vinh và thầy Nguyễn Khắc Minh dịch từ bản tiếng Anh:
Một cô thợ săn và một con thỏ tàng hình chơi trò chơi sau trên mặt phẳng. Điểm xuất phát A0 của con thỏ và điểm xuất phát B0 của cô thợ săn trùng nhau. Sau lượt chơi thứ n - 1, con thỏ ở điểm An-1 và cô thợ săn ở điểm Bn–1. Ở lượt chơi thứ n có ba điều lần lượt xảy ra theo thứ tự dưới đây:
(i) Con thỏ di chuyển một cách không quan sát được tới điểm An sao cho khoảng cách giữa An-1 và An bằng đúng 1.
(ii) Một thiết bị định vị thông báo cho cô thợ săn về một điểm Pn, đảm bảo khoảng cách giữa Pn và An không lớn hơn 1.
(iii) Cô thợ săn di chuyển một cách quan sát được tới điểm Bn sao cho khoảng cách giữa Bn-1 và Bn bằng đúng 1.
Hỏi điều sau đây sai hay đúng: cho dù con thỏ có di chuyển như thế nào và các điểm được thiết bị định vị thông báo có là những điểm nào, cô thợ săn luôn có thể chọn cho mình cách di chuyển sao cho sau 109 lượt chơi, cô ta có thể khẳng định chắc chắn rằng khoảng cách giữa mình và con thỏ không vượt quá 100?
Bài khó nhất của IMO lần thứ 58
Điểm khó của bài toán là dự đoán kết quả và định hướng đi tiếp thế nào? Chúng ta phải hiểu rằng đường đi của con thỏ cô thợ săn không biết, thiết bị định vị cũng được đặt ngẫu nhiên, chỉ biết là cách xa con thỏ không quá 1.
Trong khi đó, con thỏ biết cô thợ săn ở đâu.
- Nếu dự đoán câu trả lời khẳng định, bài toán sẽ rất khó vì có hai lần bất định.
- Nếu dự đoán câu trả lời là phủ định, bài toán sẽ dễ chịu hơn vì theo logic về phủ định, ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp mà con thỏ có thể chạy xa người thợ săn, có nghĩa là ta có thể chủ động đặt thiết bị định vị ở đâu tuỳ ý (chỉ cần thoả mãn điều kiện khoảng cách). Đây chính là ý tưởng chính trong lời giải dưới đây dựa theo lời giải vắn tắt của oneplusone trên diễn đàn artofproblemsolving.
Theo thông tin mà chúng tôi được biết oneplusone chính là nickname trên diễn đàn của Lim Jeck, học sinh người Singapore đã từng 5 lần dự olympic Toán quốc tế với 3 huy vàng, 1 huy chương bạc, 1 huy chương đồng, trong đó năm 2012, anh đạt điểm tuyệt đối 42/42.
Đây là một bài toán khó. Riêng việc đọc để hiểu yêu cầu bài toán đã là cả một vấn đề. Tổng hợp trên diễn đàn artofproblemsolving các ý kiến đánh giá thì thấy các từ “bài toán quá khó và không thể giải được trong phòng thi!” “bài toán khủng!” “khó lòng mà giải được trong phòng thi!”. Nhưng điểm khó ở bài toán này là ở định hướng chứ không phải là kỹ thuật. Nếu xác định đúng hướng (câu trả lời là “không”), ta có thể tiếp tục suy nghĩ đến việc xây dựng chiến thuật di chuyển của thỏ để “cao chạy xa bay”. Điểm gây rắc rối nhất ở đây là thiết bị định vị. Chú ý rằng trong trường hợp câu trả lời là phủ định, ta có thể chủ động đặt thiết vị định vị ở đâu tuỳ ý (điều mà ta sẽ không có được nếu “dự định” chứng minh câu trả lời khẳng định). Chính vì thế mà trong lời giải của mình oneplusone đã trao quyền chủ động cho con thỏ. Có thể nói đây là điểm mấu chốt để giải quyết được bài toán.
Khi đã có định hướng xây dựng chiến thuật chạy xa, ta có thể bắt đầu từ những khoảng cách nhỏ, ví dụ, 2, 3, 4 để từ đó tìm chiến thuật tổng quát cho thỏ. Đó cũng là chiến thuật giải chung cho các bài toán đuổi bắt.
Cuối cùng ta có thể nói thêm là ở bài này khó có cơ hội kiếm điểm thành phần.
TS. Trần Nam Dũng
Ý kiến bạn đọc: