Cách giải nào cho “Bài toán 3 hình vuông làm khó tiến sĩ”?

  • 17/03/2022 | 21:42 GMT+7
  • 2.464 lượt xem

Trên chuyên mục Giáo dục của vnexpress.net số ra ngày 22/11/2021 đăng “Bài toán 3 hình vuông làm khó tiến sĩ” đã nêu vấn đề: "Một phụ huynh là tiến sĩ không thể giải được bài toán 3 hình vuông dành cho học sinh giỏi lớp 5. Bạn có thể giúp giải trong 5 phút?"

Bài toán "3 hình vuông"

Ba hình vuông ABCD, MEFN và AFHK có các đỉnh D, E, F, H cùng nằm trên một đường thẳng. Biết diện tích S(MEFN) = 16 và S(AFHK) = 25, tính S(ABCD).

Hình vẽ của bài toán "3 hình vuông"Hình vẽ của bài toán "3 hình vuông"

Phụ huynh đó là tiến sĩ Toán - Tin ở Đại học Paris - đã không thể giải được bài toán này bằng kiến thức lớp 5 cho con trai của mình. Bài báo cũng nhấn mạnh bạn đọc: "Khi giải, bạn cần lưu ý không sử dụng định lý Talet hay tam giác đồng dạng để phù hợp với kiến thức cấp học.

Năm ngày sau, chuyên mục đăng đáp án của bài toán, cụ thể như sau:

Hướng dẫn giải:

- Bước 1: Định lý Pitago

Nếu tam giác ABC vuông tại A thì BC= AB+ AC2

Ở các quốc gia như Trung Quốc, Singapore, học sinh ở cuối bậc tiểu học được học định lý Pitago và áp dụng để giải các bài toán về diện tích. Sau đây là một cách chứng minh diễn đạt bằng ngôn ngữ hình vẽ trong hơn 70 cách chứng minh định lý Pitago.
Hình vẽ của 1 trong hơn 70 cách chứng minh định lý PitagoHình vẽ của 1 trong hơn 70 cách chứng minh định lý Pitago

- Bước 2: Áp dụng

Theo đề bài S(AFHK) = 25; S(MEFN) = 16 suy ra AF = 5; ME = MN = 4.

Ta sẽ tính hai lần diện tích tam giác vuông AFD theo 2 cách sau đây:

2S(AFD) = AF x DF = 5 x DF (1)

2S(AFD)2[S(MDF) + S(MAF)] = ME x DF + MN x AF = 4 x DF + 4 x 5 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 5 x DF = 4 x DF + 4 x 5 hay DF = 4 x 5 =20

Sử dụng định lý Pitago ta có: S(ABCD) = AD= AF+ DF= 5+ 20= 425.

Bình luận: Rất tiếc là cách giải này chưa phù hợp với học sinh lớp 5 Việt Nam vì các em chưa được học Định lý Pitago (lên lớp 8 các em mới học). Vậy có cách giải nào phù hợp với học sinh lớp 5 Việt Nam không? Chúng ta tìm ra cách giải sau:
Hình vẽ để giải bài toán theo cách khácHình vẽ để giải bài toán theo cách khác
Từ D kẻ đường thẳng song song với AF cắt CB tại P; từ A, M kẻ đường thẳng song song với DF cắt BP tại L và I; từ M kẻ đường thẳng song song với DP cắt AL tại Q. Khi đó các tứ giác ALDF, MIDE, MNAQ, MQLI là các hình chữ nhật.

Từ giả thiết S(MEFN) = 16 và S(AFHK) = 25, ta suy ra cạnh hình vuông MEFN bằng 4, cạnh hình vuông AFHK bằng 5 và độ dài đoạn thẳng AN bằng 1. Vì tứ giác ALDF là hình chữ nhật nên suy ra SALD = SADF (1); tương tự ta có: SMID = SMDE (2); SAQM = SAMN (3).

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: SQLIM = SMEFN = 16. Suy ra IM = DE = 16 : 1 = 16.

Xét tam giác vuông AFD, có DF = 16 + 4 = 20; AF = 5, suy ra SAFD = 20  5 : 2 = 50 (đvdt). Lấy 4 hình tam giác vuông giống hệt hình tam giác AFD ghép thành hình vuông (như hình vẽ dưới) thì cạnh hình vuông này chính bằng cạnh hình vuông ABCD.
Cách giải nào cho “Bài toán 3 hình vuông làm khó tiến sĩ”?

Diện tích hình vuông ABCD là: 50 x 4 + 15 x 15 = 425 (đvdt).

PHAN DUY NGHĨA

Ý kiến bạn đọc:

Bạn hãy Đăng nhập để gửi ý kiến của mình.

Đề thi mới nhất

Toán học & kết nối tuần 3

Môn Toán học - Lớp 8

Tống Phước Hiển

146 lượt thi

Toán học & kết nối tuần 3

Môn Toán học - Lớp 9

Tống Phước Hiển

104 lượt thi

Toán học & kết nối tuần 3

Môn Toán học - Lớp 6

Tống Phước Hiển

127 lượt thi

Toán học & kết nối tuần 3

Môn Toán học - Lớp 7

Tống Phước Hiển

97 lượt thi

Bài kiểm tra cuối kì II (Cuối năm)

Môn Toán học - Lớp 5

xtoan78

82 lượt thi

Xem thêm

Bài giảng mới nhất

Ghi số tự nhiên

Ghi số tự nhiên

Nguyễn Sáng

Toán học - Lớp 6

Xem thêm