Cách giải nào cho “Bài toán 3 hình vuông làm khó tiến sĩ”?

Bài toán "3 hình vuông"

Ba hình vuông ABCD, MEFN và AFHK có các đỉnh D, E, F, H cùng nằm trên một đường thẳng. Biết diện tích S(MEFN) = 16 và S(AFHK) = 25, tính S(ABCD).

Hình vẽ của bài toán "3 hình vuông"

Phụ huynh đó là tiến sĩ Toán - Tin ở Đại học Paris - đã không thể giải được bài toán này bằng kiến thức lớp 5 cho con trai của mình. Bài báo cũng nhấn mạnh bạn đọc: "Khi giải, bạn cần lưu ý không sử dụng định lý Talet hay tam giác đồng dạng để phù hợp với kiến thức cấp học.

Năm ngày sau, chuyên mục đăng đáp án của bài toán, cụ thể như sau:

Hướng dẫn giải:

- Bước 1: Định lý Pitago

Nếu tam giác ABC vuông tại A thì BC² = AB² + AC²

Ở các quốc gia như Trung Quốc, Singapore, học sinh ở cuối bậc tiểu học được học định lý Pitago và áp dụng để giải các bài toán về diện tích. Sau đây là một cách chứng minh diễn đạt bằng ngôn ngữ hình vẽ trong hơn 70 cách chứng minh định lý Pitago.
Hình vẽ của 1 trong hơn 70 cách chứng minh định lý Pitago

- Bước 2: Áp dụng

Theo đề bài S(AFHK) = 25; S(MEFN) = 16 suy ra AF = 5; ME = MN = 4.

Ta sẽ tính hai lần diện tích tam giác vuông AFD theo 2 cách sau đây:

2S(AFD) = AF x DF = 5 x DF (1)

2S(AFD) = 2[S(MDF) + S(MAF)] = ME x DF + MN x AF = 4 x DF + 4 x 5 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 5 x DF = 4 x DF + 4 x 5 hay DF = 4 x 5 =20

Sử dụng định lý Pitago ta có: S(ABCD) = AD² = AF² + DF² = 5² + 20² = 425.

Bình luận: Rất tiếc là cách giải này chưa phù hợp với học sinh lớp 5 Việt Nam vì các em chưa được học Định lý Pitago (lên lớp 8 các em mới học). Vậy có cách giải nào phù hợp với học sinh lớp 5 Việt Nam không? Chúng ta tìm ra cách giải sau:
Hình vẽ để giải bài toán theo cách khác
Từ D kẻ đường thẳng song song với AF cắt CB tại P; từ A, M kẻ đường thẳng song song với DF cắt BP tại L và I; từ M kẻ đường thẳng song song với DP cắt AL tại Q. Khi đó các tứ giác ALDF, MIDE, MNAQ, MQLI là các hình chữ nhật.

Từ giả thiết S(MEFN) = 16 và S(AFHK) = 25, ta suy ra cạnh hình vuông MEFN bằng 4, cạnh hình vuông AFHK bằng 5 và độ dài đoạn thẳng AN bằng 1. Vì tứ giác ALDF là hình chữ nhật nên suy ra S_ALD = S_ADF (1); tương tự ta có: S_MID = S_MDE (2); S_AQM = S_AMN (3).

Từ (1), (2), (3) ta suy ra: S_QLIM = S_MEFN = 16. Suy ra IM = DE = 16 : 1 = 16.

Xét tam giác vuông AFD, có DF = 16 + 4 = 20; AF = 5, suy ra S_AFD = 20  5 : 2 = 50 (đvdt). Lấy 4 hình tam giác vuông giống hệt hình tam giác AFD ghép thành hình vuông (như hình vẽ dưới) thì cạnh hình vuông này chính bằng cạnh hình vuông ABCD.

Diện tích hình vuông ABCD là: 50 x 4 + 15 x 15 = 425 (đvdt).

PHAN DUY NGHĨA